作者，Sean Li 。原文《10 Mind Blowing Mathematical Equations》
翻譯，小米，哆嗒數學網翻譯組成員。
很多時候，人們認為數學公式只是為了記憶來應付考試的。但有些時候，數學公式的價值卻遠超于此——它們本身就是藝術品，為純粹的享受而生。今天我就收集了以此為目的的10個最驚人、眩目和瘋狂的數學公式。這些方程應該能向任何人說明，數學不僅僅只是公式的記憶。
1. 歐拉恒等式
這是一個非常著名的恒等式。它給出了3個看似隨機的量之間的聯系：π、e和-1的平方根。許多人認為這是數學中最漂亮的公式。
一個更一般的公式是e^(ix) =cosx+isinx (a^b表示a的b次方，下同)。當x=π，cosx取值為-1，而isinx取值為0。由-1+1=0，我們得到了歐拉恒等式。
2. 歐拉乘積公式
等式左邊的符號是無窮求和，而右邊的符號則是無窮乘積。這個公式也是歐拉首先發現的。它聯系了出現在等式左邊的自然數（如n=1，2，3，4，5等等）與出現在等式右邊的素數（如p=2，3，5，7，11等等）。而且我們可以選取s為任意大于1的數，并保證等式成立。
歐拉乘積公式的左邊是黎曼ζ函數最常見的一種表示形式。
3. 高斯積分
函數e^(-x?2;)本身在積分中是很難對付的�？墒钱斘覀儗λ谡麄�實數軸上積分，也就是說從負 無窮到正無窮時，我們卻得到了一個十分干凈的答案。至于為什么曲線下面的面積是π的平方根，這可不是一眼就能看出來的。
由于這個公式代表了正態分布，它在統計中也十分重要。
4. 連續統的基數
上面的公式說明了實數集的基數與自然數全體子集的基數相同。這首先是被集合論的建立者康托爾證明的。值得注意的是，這也說明了連續統是不可數，因為2^N > N。
一個相關的假設是連續統假設。這個假設是說，在N和R之間不存在其它的基數。有趣的是，這個假設有一個奇怪的性質：它既不能被證明也不能被證偽。
5. 階乘函數的解析延拓
階乘函數通常被定義為n!=n(n-1)(n-2)……1。但是這個定義只對n是正整數時有效，而上面積分方程則對分數和小數也有效，而且還可以用于負數、復數等等……
同樣的積分式中我們把n換成n-1就定義了伽馬函數。
6. 勾股定理
勾股定理恐怕是這個清單中最熟悉的公式了。它給出了直角三角形三邊的聯系，其中a和b是直角邊長，而c是斜邊長。這個公式還將三角形和正方形聯系了起來。
7. 斐波那契數列的通項
這里，注意到φ這個數字是黃金分割比例。很多人可能聽說過斐波那契數列（0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55…，數列中每一項是前兩項的和），卻很少人知道有一個公式能夠計算出任意某一項斐波那契數：這就是上面我們給出的公式，公式里面F(n)代表第n個斐波那契數。也就是說，為了得到第100個斐波那契數，你不需要去計算前99個，而只需要把100代入公式。
值得注意的是，即便在計算過程中出現了許多根號和除法，最后的答案總是一個精確的正整數。
8. 巴塞爾問題
這個公式告訴我們，如果你取所有完全平方數并將它們的倒數和相加，你將會得到\pi^2/6。這是歐拉首先證明的。注意到這個式子只是在前面的第二個方程（歐拉乘積公式）中令s=2。后者是黎曼ζ方程，因此我們可以說ζ(2)的值是π?2;/6。
9. 調和級數
這個公式有點反直覺，因為它告訴我們，如果你把一些不斷變小的數（最終趨向0）加起來，最后將會得到無窮。可是如果你是取它們的平方，和卻是一個有限的值（答案是π?2;/6）。如果仔細觀察調和級數，你會發現它正是ζ(1)。
10. 素數計數公式的顯式表達
這個方程的重要性體現在：
素數是那些除了1和它本身以外沒有其它因子的數。小于100的素數有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97 。 由此可知，素數的出現沒有顯然的規律：對于一串連續正整數，有時候你會找到許多素數，有時候你會一個也找不到。找到很多或一個找不到似乎是完全隨機的。
很長時間以來，數學家都在嘗試給出素數分布的規律。上面的公式正是不大于一個給定數素數個數的顯式表達。
以下是各個符號的意義：
π(x): 素數計數函數。它給出了不大于一個給定數的素數個數。例如，π(6)=3，因為有3個素數不大于6：2，3，5。
μ(n): 莫比烏斯函數。它依據n的質因數分解而取值為0， -1或1。
Li(x): 對數積分函數。它被定義為函數1/lnt從2到x的積分。
ρ: 黎曼ζ函數的任意非平凡零點。
令人吃驚的是，整個公式的結果總是一個精確的正整數！這說明，給定一個實數，我們可以把它代入公式并得到不大于它的素數個數。存在著這樣一個公式的事實說明，素數的分布存在某些規律，只是我們現在還不能理解罷了。
